Question

【題目】在直角坐標系xOy中，點P到兩點（0,），（0,）的距離之和為4，設點P的軌跡為C，直線y＝kx+1與A交于A，B兩點.

（1）寫出C的方程；

（2）若，求k的值.

Answer 1

【答案】（1）x21；（2）±

【解析】

（1）根據已知條件可判斷動點軌跡為橢圓，結合題意寫出橢圓方程即可；

（2）聯立直線方程與橢圓方程，根據韋達定理以及向量垂直，即可求得參數.

（1）設P（x,y），由橢圓定義可知，

點P的軌跡C是以（0,），（0,）為焦點，長半軸為2的橢圓.

它的短半軸b1，

故曲線C的方程為x21.

（2）設A（x1,y1），B（x2,y2），

其坐標滿足，

消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3＝0，

故x1+x2，x1x2，

若，即x1x2+y1y2＝0.

而y1y2＝k2x1x2+k（x1+x2）+1，

則x1x2+y1y21＝0，

化簡得﹣4k2+1＝0，

解得k＝±.