Question

已知函數，其中為自然對數的底數.
（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；
（Ⅱ）若函數存在一個極大值和一個極小值，且極大值與極小值的積為，求的
值.

Answer 1

（Ⅰ）所求面積為. （Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ），    當時，，
，，所以曲線在處的切線方程為切線與軸、軸的交點坐標分別為，， 所以，所求面積為.
（Ⅱ）因為函數存在一個極大值點和一個極小值點，
所以，方程在內存在兩個不等實根，
.  ，則
設為函數的極大值和極小值，
則，，
因為，，所以，，
即，，，
解得，，此時有兩個極值點，所以.
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，（2）涉及方程實根的討論及研究，運用了韋達定理，輕聲道切線斜率，等于函數在切點的導函數值。