Question

【題目】已知數列{an}滿足：，且an+1（n=1，2…）集合M={an|}中的最小元素記為m.

（1）若a1=20，寫出m和a10的值：

（2）若m為偶數，證明：集合M的所有元素都是偶數；

（3）證明：當且僅當時，集合M是有限集.

Answer 1

【答案】（1）6，22；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）利用遞推公式依次求出數列的前10項，推導出集合中的最小元素．．

（2）推導出，當時，或，由為偶數，得到為偶數，為偶數，由此能證明若為偶數，則集合的所有元素都是偶數．

（3）推導出，當時，．從而集合．由此能證明當且僅當時，集合是有限集．

因為數列滿足：，且

集合中的最小元素記為．

所以，

，

，

，

，

，

，

，

，

所以集合中的最小元素．．

（2）證明：因為數列滿足：，且，

集合中的最小元素為偶數．

所以，當時，或，

因為為偶數，為偶數，為偶數，

所以若為偶數，則集合的所有元素都是偶數．

（3）證明：因為數列滿足：，且，

集合中的最小元素為偶數．當且僅當，

所以，當時，．

得集合．

所以，當且僅當時，集合是有限集．