Question

設f（x）=x³，等差數列{a_n}中a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，記=，令b_n=a_nS_n，數列的前n項和為T_n
（1）求{a_n}的通項公式和S_n；
（2）求證：；
（3）是否存在正整數m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）設數列的公差為，
由,.解得，=3 ，
∴
∵，   ∴Sn==.
（2）
∴  
∴
（3）由(2)知，  
  ∴，，
∵成等比數列.
∴       即
當時，7，=1，不合題意；
當時，，=16，符合題意；
當時，，無正整數解；
當時，，無正整數解；
當時，，無正整數解；
當時，，無正整數解；
當時， ，則，而，所以，此時不存在正整數m,n,且1<m<n,使得成等比數列.
綜上，存在正整數m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比數列.
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