Question

【題目】已知三次函數的導函數且， ．

（1）求的極值；

（2）求證：對任意，都有．

Answer 1

【答案】（I）， ;（II）見解析.

【解析】試題分析：（I）由題意，令且 所以由的單調性可知的極小值為極大值為

（II）且從而問題轉化為在

上恒成立.

試題解析：

（I）依題意得，

知在和上是減函數，在上是增函數

∴，

（II）法1：易得時， ，

依題意知，只要

由知，只要

令img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/13/326babff/SYS201712291339206689357083_DA/SYS201712291339206689357083_DA.027.png" width="169" height="27" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，則

注意到，當時， ；當時， ，

即在上是減函數，在是增函數，

即，綜上知對任意，都有

法2：易得時， ，

由知, ,令

則

注意到，當時， ；當時， ，

即在上是減函數，在是增函數， ，所以,

即.

綜上知對任意，都有.

法3: 易得時， ，

由知, ,令,則

令,則,知在遞增,注意到,所以, 在上是減函數，在是增函數,有,即

綜上知對任意，都有.