Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），將曲線上各點縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變），得到曲線.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）寫出曲線的極坐標方程與直線的直角坐標方程；

（2）曲線上是否存在不同的兩點，（以上兩點坐標均為極坐標，，，，），使點、到的距離都為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在，

【解析】

（1）首先根據題意求出曲線的參數方程為（為參數），從而得到直角坐標方程，再轉化為極坐標方程即可.根據，，將直線的極坐標方程轉化為直角坐標方程即可.

（2）首先計算曲線的圓心到直線的距離，結合圖象得到存在這樣的點，再利用極坐標計算的值即可.

（1）由曲線的參數方程為（為參數），

將曲線上各點縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變），

得到曲線的參數方程為（為參數），

得到曲線的直角坐標方程為，其極坐標方程為，

又直線的極坐標方程為，

故其直角坐標方程為.

（2）曲線是以為圓心，為半徑的圓，

圓心到直線的距離，

所以存在這樣的點，，且點到直線的距離為，

如圖所示：

因為，所以，

即：.

又因為，，，

所以.