Question

【題目】如圖，三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，，底面，點分別為，的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角的余弦值為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在；是的中點

【解析】

（1）由底面，可得，再由，利用線面垂直的判定定理得到平面，根據平面，由面面垂直的判定定理證明即可.

（2）由兩兩垂直，以為坐標原點，分別以的正方向為軸，建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量，設，表示的坐標，根據直線與平面所成的角的余弦值為，由求解.

（1）因為底面，底面，

所以，

易知，

所以平面，..

因為平面，

所以平面平面

（2）因為兩兩垂直，所以以為坐標原點，分別以的正方向為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

則，

，

設平面的一個法向量為，

由，得，

不妨設，則，所以，

設，則，

由題知：，

即，

解得，

所以在線段上存在點為PB的中點，使得直線與平面所成的角的余弦值為.