Question

【題目】已知定義為的函數滿足下列條件：①對任意的實數都有：

；②當時，．

（1）求；

（2）求證：在上為增函數；

（3）若，關于的不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）令；（2）任取，則，所以是上增函數；（3）由已知條件有：

，又

在上恒成立，令，即成立即可．然后對 取值進行分類討論可得：實數的取值范圍是．

試題解析：（1）令，恒等式可變為，解得

（2）任取，則，由題設時，，可得，

∵，

∴，

所以是上增函數

（3）由已知條件有：，

故原不等式可化為：，即，

而當時，，

所以，所以，

故不等式可化為，

由（2）可知在上為增函數，所以，

即在上恒成立，

令，即成立即可．

①當，即時，在上單調遞增，

則解得，所以，

②當即時，有

解得，而，所以，

綜上，實數的取值范圍是