Question

【題目】直角梯形ABCD如圖（1）所示，其中，，過點B作，垂足為M，得到面積為4的正方形ABMD，現沿BM進行翻折，得到如圖（2）所示的四棱柱C-ABMD．

（1）求證：平面平面CDM；

（2）若，平面CBM與平面CAD所成銳二面角的余弦值為，求CM的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據翻折的性質可知，，即可得到平面，從而得證；

（2）以為原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量法表示出二面角的余弦，從而解方程即可.

解：（1）在圖（1）中，因為，，

所以翻折后，在圖（2）中有，，．

又，平面，平面，

所以平面，

因為平面，

故平面⊥平面．

（2）因為，，，平面，平面，

所以平面，

又，以 為原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，D（2，0，0），C（0，0，a），A（2，2，0），則，．

設平面CAD的法向量為，由，

取，，，即，取平面的法向量為，

，即，解得，即．