Question

【題目】已知圓C經過點A（﹣2，0），B（0，2），且圓心C在直線y=x上，又直線l：y=kx+1與圓C相交于P、Q兩點．
（1）求圓C的方程；
（2）若 =﹣2，求實數k的值；
（3）過點（0，4）作動直線m交圓C于E，F兩點．試問：在以EF為直徑的所有圓中，是否存在這樣的圓P，使得圓P經過點M（2，0）？若存在，求出圓P的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設圓心C（a，a），半徑為r．

因為圓C經過點A（﹣2，0），B（0，2），

所以|AC|=|BC|=r，

即 ，

解得a=0，r=2，

所以圓C的方程是x2+y2=4

（2）解：因為 =2×2×cos＜ ＞=﹣2，

且 與 的夾角為∠POQ，

所以cos∠POQ=﹣ ，∠POQ=120°，

所以圓心C到直線l：kx﹣y+1=0的距離d=1，

又d= ，所以k=0

（3）解：（�。┊斨本�m的斜率不存在時，

直線m經過圓C的圓心C，

此時直線m與圓C的交點為E（0，2），F（0，﹣2），

EF即為圓C的直徑，而點M（2，0）在圓C上，

即圓C也是滿足題意的圓．

（ⅱ）當直線m的斜率存在時，設直線m：y=kx+4，

由 ，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，

由△=64k2﹣48（1+k2）＞0，得 或 ．

設E（x1，y1），F（x2，y2），

則有 ①

由①得 ，② ，③

若存在以EF為直徑的圓P經過點M（2，0），則ME⊥MF，

所以 ，

因此（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，

即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2=0，）

則 ，

所以16k+32=0，k=﹣2，滿足題意．

此時以EF為直徑的圓的方程為x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0，

即 ，

亦即5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0．

綜上，在以EF為直徑的所有圓中，

存在圓P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圓P經過點M（2，0）

【解析】（1）設圓心C（a，a），半徑為r．|AC|=|BC|=r，由此能求出圓C的方程．（2）由 =2×2×cos＜ ＞=﹣2，得∠POQ=120°，圓心C到直線l：kx﹣y+1=0的距離d=1，由此能求出k=0．（3）當直線m的斜率不存在時，圓C也是滿足題意的圓；當直線m的斜率存在時，設直線m：y=kx+4，由 ，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出在以EF為直徑的所有圓中，存在圓P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圓P經過點M（2，0）．