Question

【題目】函數，.

（Ⅰ）若，設，試證明存在唯一零點，并求的最大值；

（Ⅱ）若關于的不等式的解集中有且只有兩個整數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知，求得，令，，進而判定出函數的單調性，求得函數的最大值.

（Ⅱ）由題意等價于，令，求得，

令，則，即在上單調遞增，求得，，的值，進而得到實數的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）證明：由題意知，

于是

令，，

∴在上單調遞減.

又，，

所以存在，使得，

綜上存在唯一零點.

解：當，，于是，在單調遞增；

當，，于是，在單調遞減；

故，

又，，，

故.

（Ⅱ）解：等價于.

，

令，則，

令，則，即在上單調遞增.

又，，

∴存在，使得.

∴當，在單調遞增；

當，在單調遞減.

∵，，，

且當時，，

又，，，

故要使不等式解集中有且只有兩個整數，的取值范圍應為.