Question

【題目】設是公差為的等差數列，是公比為的等比數列. 記.

（1）求證: 數列為等比數列；

（2）已知數列的前項分別為.

①求數列和的通項公式；

②是否存在元素均為正整數的集合，使得數列等差數列？證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②不存在滿足題意的集合.

【解析】

試題分析：（1）借助題設條件運用等比數列的定義推證；（2）借助題設運用等差數列及分析推證法探求.

試題解析：

（1）證明:

依題意，,

從而, 又,所以是首項為，公比為的等比數列 .

（2）① 由（1）得，等比數列的前項為, 則,解得, 從而, 且, 解得,所以.

②假設存在滿足題意的集合,不妨設, 且等差數列, 則, 因為, 所以 ① 若, 則,結合①得, , 則, 化簡得,

, ② 因為, 不難知,這與②矛盾，所以只能,同理, 所以為數列的連續三項，從而,即

,又.故,又，故， 這與矛盾，所以假設不成立，從而不存在滿足題意的集合.