Question

【題目】三棱錐P﹣ABC中，△ABC是底面，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且這四個頂點都在半徑為2的球面上，PA=2PB，則這個三棱錐的三個側棱長的和的最大值為（　�。�
A.16
B.
C.
D.32

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵PA，PB，PC兩兩垂直，
又∵三棱錐P﹣ABC的四個頂點均在半徑為2的球面上，
∴以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線即為球的一條直徑．
∴16=PA2+PB2+PC2 ， 又PA=2PB，∴5PB2+PC2=16，
設PB=，PC=4sinα，
則這個三棱錐的三個側棱長的和PA+PB+PC=3PB+PC=cosα+4sinα=sin（α+）≤ ．
則這個三棱錐的三個側棱長的和的最大值為 ，
故選B．
【考點精析】本題主要考查了棱臺的結構特征和球內接多面體的相關知識點，需要掌握①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于原棱錐的頂點；球的內接正方體的對角線等于球直徑;長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長才能正確解答此題．