Question

【題目】如圖，平面平面，其中四邊形為矩形，四邊形為梯形，，，，．

（1）求證：平面ABF；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

(1)因為平面平面，利用面面垂直的性質定理可得平面,進而得到，又，根據線面垂直的判定定理即可證出；

(2)以為原點所在的直線分別為軸，軸建立空間直角坐標系,分別求出平面和平面的法向量，用向量法即可求出二面角的正弦值．

(1)因為平面平面，其中四邊形為矩形，

所以，平面,平面平面，

所以平面,又平面，

所以，又，，平面，

所以平面，

(2) 由(1)知，平面，平面，所以，

以為原點，所在的直線分別為軸，軸建立空間直角坐標系．

在梯形中，作，垂足為，則，

，所以,

則，，，，

所以，，設平面的一個法向量為，

則由 ，即，取，得，

所以，

由(1)知，平面，所以可取平面的一個法向量，

所以，

設二面角的大小，則

，

即二面角的正弦值．