Question

【題目】已知函數f（x）=ax2﹣x+2a﹣1（a＞0）．
（1）若f（x）在區間[1，2]為單調增函數，求a的取值范圍；
（2）設函數f（x）在區間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式；
（3）設函數 ，若對任意x1 ， x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥h（x2）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=ax2﹣x+2a﹣1（a＞0）的圖象是開口朝上，且以直線x= 為對稱軸的拋物線，

若f（x）在區間[1，2]為單調增函數

則 ，

解得：

（2）解：①當0＜ ＜1，即a＞ 時，f（x）在區間[1，2]上為增函數，

此時g（a）=f（1）=3a﹣2

②當1≤ ≤2，即 時，f（x）在區間[1， ]是減函數，在區間[ ，2]上為增函數，

此時g（a）=f（ ）= ）

③當 ＞2，即0＜a＜ 時，f（x）在區間[1，2]上是減函數，

此時g（a）=f（2）=6a﹣3

綜上所述：

（3）解：對任意x1，x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥h（x2）恒成立，

即f（x）min≥h（x）max，

由（2）知，f（x）min=g（a）

又因為函數 ，

所以函數h（x）在[1，2]上為單調減函數，所以 ，

①當 時，由g（a）≥h（x）max得： ，解得 ，（舍去）

②當 時，由g（a）≥h（x）max得： ，即8a2﹣2a﹣1≥0，

∴（4a+1）（2a﹣1）≥0，解得

所以

③當 時，由g（a）≥h（x）max得： ，解得 ，

所以a

綜上所述：實數a的取值范圍為

【解析】（1）若f（x）在區間[1，2]為單調增函數，則根據題意a＞0，只需二次函數的對稱軸在區間的左側即可，列出不等式可解得a的取值范圍，（2）分類討論給定區間與對稱軸的關系，分析出各種情況下g（x）的表達式，綜合討論結果，可得答案，（3）不等式f（x1）≥h（x2）恒成立，

即f（x）min≥h（x）max，分類討論各種情況下實數a的取值，綜合討論結果，可得答案.

【考點精析】關于本題考查的函數的最值及其幾何意義和二次函數的性質，需要了解利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲担焕�用圖象求函數的最大（�。┲�；利用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲�；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．