已知各項均為正數的數列{a}滿足a
=2a
+a
a
,且a
+a
=2a
+4,其中n∈N
.
(Ⅰ)若b=
,求數列{b
}的通項公式;
(Ⅱ)證明:+
+…+
>
(n≥2).
(1)b=
(n∈N
)
(2)構造函數借助于函數的最值來證明不等式。
解析試題分析:解:(Ⅰ)因為a=2a
+a
a
,即(a
+a
)(2a
-a
)=0. 1分
又a>0,所以有2a
-a
=0,即2a
=a
所以數列是公比為2的等比數列, 3分
由得
,解得
。
從而,數列{a}的通項公式為a
=2
(n∈N
),即:b
=
(n∈N
). 5分
(Ⅱ)構造函數f(x)=-
(b
-x)(x>0),
則f′(x)=-
+
=
,
當0<x<b時,f′(x)>0,x>b
時,f′(x)<0,
所以f(x)的最大值是f(b)=
,所以f(x)≤
. 7分
即≥
-
(b
-x)(x>0,i=1,2,3…n),取“=”的條件是x=b
(i=1,2,3…n),
所以+
+…+
>
-
(b
+b
+…+b
-nx), 9分
令x=,則
+
+…+
>
,
所以+
+…+
>
, 11分
即+
+…+
>
(n≥2). 12分
考點:數列與導數、不等式
點評:解決的關鍵是能利用等比數列來求解通項公式,同時能結合導數來拍腦袋函數單調性,以及求解函數的最值,同時證明不等式,屬于中檔題。
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(文科只做(1)(2)問,理科全做)
設是函數
圖象上任意兩點,且
,已知點
的橫坐標為
,且有
,其中
且n≥2,
(1) 求點的縱坐標值;
(2) 求,
,
及
;
(3)已知,其中
,且
為數列
的前n項和,若
對一切
都成立,試求λ的最小正整數值。
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知數列的前
項和為
,滿足
,且
依次是等比數列
的前兩項。
(1)求數列及
的通項公式;
(2)是否存在常數且
,使得數列
是常數列?若存在,求出
的值;若不存在,說明理由。
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)已知f (x)=mx(m為常數,m>0且m≠1).設f (a1),f (a2),…,f (an),…(n∈N)是首項為m2,公比為m的等比數列.
(1)求證:數列{an}是等差數列;
(2)若bn=an f (an),且數列{bn}的前n項和為Sn,當m=3時,求Sn;
(3)若cn= f(an) lg f (an),問是否存在m,使得數列{cn}中每一項恒不小于它后面的項?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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