Question

【題目】已知函數y=x+ 有如下性質：如果常數t＞0，那么該函數在 上是減函數，在 上是增函數．
（1）已知f（x）= ，x∈[﹣1，1]，利用上述性質，求函數f（x）的單調區間和值域；
（2）對于（1）中的函數f（x）和函數g（x）=﹣x﹣2a，若對任意x1∈[﹣1，1]，總存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求實數a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：y= =x+2+ ﹣6；

設u=x+2，x∈[﹣1，1]，1≤u≤3，u=x+2為增函數；

則y=u+ ﹣6，u∈[1，3]；

由已知性質得，①當1≤u≤2，即﹣1≤x≤0時，f（x）單調遞減；

∴f（x）的減區間為[﹣1，0]；

②當2≤u≤3，即0≤x≤1時，f（x）單調遞增；

∴f（x）的增區間為[0，1]；

由f（﹣1）=﹣1，f（0）=﹣2，f（1）= ；

得f（x）的值域為[﹣2，﹣1]

（2）解：g（x）=﹣x﹣2a為減函數，x∈[0，1]；

故g（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]；

由題意，f（x）的值域是g（x）的值域的子集；

∴ ；

∴ ；

即實數a的值為

【解析】（1）根據條件，先變形f（x）= ，可令x+2=u，1≤u≤3，而函數u=x+2為增函數，從而根據復合函數的單調性及已知的性質便可得出f（x）的減區間為[﹣1，0]，增區間為[0，1]，進一步便可得出f（x）的值域為[﹣2，﹣1]；（2）根據題意便知f（x）的值域為g（x）的子集，而容易求出g（x）的值域為[﹣1﹣2a，﹣2a]，從而得出 ，這樣即可得出實數a的值．