Question

【題目】已知數列滿足，對任意的，都有.

(1)求數列的遞推公式

(2)數列滿足，求數列的通項公式;

(3)在(2)的條件下，設，問是否存在實數使得數列是單調遞增數列?若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明你的理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，

【解析】

（1）利用成立,令,得.即可得到數列的遞推公式.

（2）由（1）求出 求出,即可求出的通項公式;

（3）化簡,通過的符號,求出的范圍.

（1）對任意都有成立，

令，得

數列的遞推公式是

（2）由（1）可知，數列是首項和公比都為的等比數列，于是

由

得

故得

當時,，

∴

∴

（3）

當時,,

依據題意,有,即

當為大于或等于的偶數時,有 恒成立,又隨增大而增大

則,故的取值范圍為;

當為大于或等于的奇數時，有恒成立，故的取值范圍為;

當時，由，得.

綜上所述的取值范圍是:.