Question

【題目】已知二次函數g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在區間[0，3]上有最大值4，最小值0．
（Ⅰ）求函數g（x）的解析式；
（Ⅱ）設f（x）= ．若f（2x）﹣k2x≤0在x∈[﹣3，3]時恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵g（x）=m（x﹣1）2﹣m+1+n
∴函數g（x）的圖象的對稱軸方程為x=1
∵m＞0依題意得 ，
即 ，
解得
∴g（x）=x2﹣2x+1，
（Ⅱ）∵
∴ ，
∵f（2x）﹣k2x≤0在x∈[﹣3，3]時恒成立，
即 在x∈[﹣3，3]時恒成立
∴ 在x∈[﹣3，3]時恒成立
只需
令 ，
由x∈[﹣3，3]得
設h（t）=t2﹣4t+1
∵h（t）=t2﹣4t+1
=（t﹣2）2﹣3
∴函數h（x）的圖象的對稱軸方程為t=2
當t=8時，取得最大值33．
∴k≥h（t）max=h（8）=33
∴k的取值范圍為[33，+∞）
【解析】（Ⅰ）由題意得方程組解出即可，（Ⅱ）將f（x）進行變形，通過換元求出函數h（t）的最值，從而求出k的值．