Question

【題目】已知定義在R上的函數f（x）滿足條件f（x+4）=﹣f（x），且函數y=f（x+2）是偶函數，當x∈（0，2]時， ，當x∈[﹣2，0）時，f（x）的最小值為3，則a的值等于（ ）
A.e2
B.e
C.2
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x+2）是偶函數，∴f（x+2）=f（﹣x+2），

∴f（x）關于直線x=2對稱，

∴當2≤x＜4時，f（x）=f（4﹣x）=ln（4﹣x）﹣a（4﹣x）．

∵f（x+4）=﹣f（x），

∴當﹣2≤x＜0時，f（x）=﹣f（x+4）=﹣ln[4﹣（x+4）]+a[4﹣（x+4）]=﹣ln（﹣x）﹣ax，

∴f′（x）=﹣ ﹣a，

令f′（x）=0得x=﹣ ，

∵a ，∴﹣ ∈（﹣2，0），

∴當﹣2≤x＜﹣ 時，f′（x）＜0，當﹣ ＜x＜0時，f′（x）＞0，

∴f（x）在[﹣2，﹣ ）上單調遞減，在（﹣ ，0）上單調遞增，

∴當x=﹣ 時，f（x）取得最小值f（﹣ ）=﹣ln +1，

∵f（x）在[﹣2，0）上有最小值3，

∴﹣ln（ ）+1=3，解得a=e2．

故選A．