【題目】已知橢圓
右焦點與拋物線
的焦點重合，以原點為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓與直線
相切.
（1）求橢圓的方程
（2）若直線
與y軸交點為P，A、B是橢圓上兩個動點，它們在y軸兩側，
，
的平分線與y軸重合，則直線AB是否過定點，若過定點，求這個定點坐標，若不過定點說明理由.
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【題目】2020年4月8日零時正式解除離漢通道管控，這標志著封城76天的武漢打開城門了.在疫情防控常態下，武漢市有序復工復產復市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕，嚴密防范、慎終如始.為科學合理地做好小區管理工作，結合復工復產復市的實際需要，某小區物業提供了A，B兩種小區管理方案，為了決定選取哪種方案為小區的最終管理方案，隨機選取了4名物業人員進行投票，物業人員投票的規則如下：①單獨投給A方案，則A方案得1分，B方案得﹣1分；②單獨投給B方案，則B方案得1分，A方案得﹣1分；③棄權或同時投票給A，B方案，則兩種方案均得0分.前1名物業人員的投票結束，再安排下1名物業人員投票，當其中一種方案比另一種方案多4分或4名物業人員均已投票時，就停止投票，最后選取得分多的方案為小區的最終管理方案.假設A，B兩種方案獲得每1名物業人員投票的概率分別為
和
.
（1）在第1名物業人員投票結束后，A方案的得分記為ξ，求ξ的分布列；
（2）求最終選取A方案為小區管理方案的概率.
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【題目】設直線
與直線
分別與橢圓
交于點
，且四邊形
的面積為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）設過點
的動直線
與橢圓相交于
，
兩點，是否存在經過原點，且以
為直徑的圓？若有，請求出圓的方程，若沒有，請說明理由.
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【題目】在一個不透明的盒子中裝有4個大小、形狀、手感完全相同的小球，分別標有數字1，2，3，4.現每次有放回地從中任意取出一個小球，直到標有偶數的球都取到過就停止.小明用隨機模擬的方法估計恰好在第3次停止摸球的概率，利用計算機軟件產生隨機數，每1組中有3個數字，分別表示每次摸球的結果，經隨機模擬產生了以下18組隨機數：
131 432 123 233 234 122 332 141 312 241 122 214 431 241 141 433 223 442
由此可以估計恰好在第3次停止摸球的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖所示，平面四邊形
中，
為直角，
為等邊三角形，現把
沿著
折起，使得平面
與平面
垂直，且點M為的中點.
（1）求證：平面
平面
；
（2）若
，求直線
與平面
所成角的余弦值.
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【題目】已知拋物線
焦點為
，且
，
，過
作斜率為
的直線
交拋物線
于
、
兩點.
（1）若
，
，求
；
（2）若
為坐標原點，
為定值，當
變化時，始終有
，求定值的大��；
（3）若
，
，
，當改變時，求三角形
的面積的最大值.
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【題目】我國南北朝時期的數學家祖暅提出了計算幾何體體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異“．意思是兩個同高的幾何體，如果在等高處的截面積都相等，那么這兩個幾何體的體積相等．現有某幾何體和一個圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側面展開圖是半徑為3的圓的三分之一，則該幾何體的體積為（ ）
A.
πB.
πC.4
D.
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【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），在以坐標原點
為極點、以
軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線
的極坐標方程為
，若直線與曲線交于
、
兩點.
（1）求線段
的中點
的直角坐標；
（2）設點
是曲線上任意一點，求
面積的最大值.
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【題目】橢圓
的離心率為
，左焦點
到直線
的距離為10，圓
.
（1）求橢圓的方程；
（2）若
是橢圓上任意一點，
為圓的任一直徑，求
的取值范圍；
（3）是否存在以橢圓上點
為圓心的圓，使得過圓上任意一點
作圓
的切線，切點為
，都滿足
？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.
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