Question

【題目】已知橢圓的右焦點F（m，0），左、右準線分別為l1：x=﹣m﹣1，l2：x=m+1，且l1 ， l2分別與直線y=x相交于A，B兩點．
（1）若離心率為 ，求橢圓的方程；
（2）當 ＜7時，求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓的右焦點F（m，0），故焦點在x軸上，設橢圓方程為： （a＞b＞0），

∴c=m，準線方程為：x= =m+1，

∴a2=m（m+1），b2=m …2分

由e= = = ，可得b=c，從而m=1，

故a= ，b=1，

∴橢圓方程： ；

（2）解：由題意可知：A（﹣m﹣1，﹣m﹣1），B（m+1，m+1），

∴ =（2m+1，m+1）， =（1，m+1），

故 =2m+1+（m+1）2=m2+4m+2＜7，

解得：0＜m＜1，…12分

由離心率e= = = ，

故所求的離心率范圍為（0， ）．

【解析】（1）由題意可知： （a＞b＞0），由準線方程為：x= =m+1，即可求得a2=m（m+1），b2=m，由e= = = ，即可求得b=c，求得m的值，代入求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（2）A（﹣m﹣1，﹣m﹣1），B（m+1，m+1），求得 =（2m+1，m+1）， =（1，m+1），由 =m2+4m+2＜7，即可求得0＜m＜1，由離心率e= = = ，即可求得橢圓離心率的取值范圍．