Question

【題目】已知函數，.

（1）若，求實數的取值范圍；

（2）設函數的極大值為，極小值為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根據題意轉化為的最小值小于等于9，二次函數根據軸與區間的關系進行分類討論，得到答案.（2）利用導數求出的極小值和極大值，并且得到 的關系，以及與 的關系，表示出消去，然后令，將轉化成關于的函數，注意的取值范圍，從而求出的范圍.

（1）因為，

所以函數的最小值小于等于9.

（i）函數的對稱軸為，當，即時，

由，得，

因為，所以；

（ii）當，即時，

由，得.

綜上，實數的取值范圍為.

（2）因為，所以.

設，因為，

所以函數有兩個不同的零點，不妨設為，，且，

則，.

當時，，函數為單調遞減函數；

當時，，函數為單調遞增函數；

當時，，函數為單調遞減函數.

所以當時，函數取得極小值，當時，函數取得極大值，

所以，

又，，所以.

將代入，得，

設，則 ，

所以.

設，，則，

所以函數在上為單調減函數，

從而，

又，當時，，所以，

即.

故的取值范圍為.