Question

已知平面直角坐標系xoy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為，右頂點為D（2，0），設點A（1，）．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）若P是橢圓上的動點，求線段PA的中點M的軌跡方程；
（3）過原點O的直線交橢圓于B，C兩點，求△ABC面積的最大值，并求此時直線BC的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的標準方程及其性質即可得出；
（2）分別設點P（x，y），線段PA的中點M（x，y）．利用中點坐標公式及“代點法”即可得出；
（3）對直線BC的斜率分存在于不存在兩種情況討論，當直線BC的斜率存在時，把直線BC的方程與橢圓的方程聯立，解得點B，C的坐標，利用兩點間的距離公式即可得出|BC|，再利用點到直線的距離公式即可得出點A到直線BC的距離，利用三角形的面積計算公式即可得出，再利用導數得出其最值．
解答：解；（1）由題意可設橢圓的標準方程為，c為半焦距．
∵右頂點為D（2，0），左焦點為，
∴a=2，，．
∴該橢圓的標準方程為．
（2）設點P（x，y），線段PA的中點M（x，y）．
由中點坐標公式可得，解得．（*）
∵點P是橢圓上的動點，∴．
把（*）代人上式可得，可化為．
即線段PA的中點M的軌跡方程為一焦點在x軸上的橢圓．
（3）①當直線BC的斜率不存在時，可得B（0，-1），C（0，1）．
∴|BC|=2，點A到y軸的距離為1，∴=1；
②當直線BC的斜率存在時，設直線BC的方程為y=kx，B（x₁，y₁），C（-x₁，-y₁）（x₁＜0）．
聯立，化為（1+4k²）x²=4．解得，
∴．
∴|BC|==2=．
又點A到直線BC的距離d=．
∴==，
∴==，
令f（k）=，則．
令f^′（k）=0，解得．列表如下：

又由表格可知：當k=時，函數f（x）取得極小值，即取得最大值2，即．
而當x→+∞時，f（x）→0，→1．
綜上可得：當k=時，△ABC的面積取得最大值，即．
點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、中點坐標公式及“代點法”、分類討論的思想方法、直線與橢圓相交問題轉化為直線的方程與橢圓的方程聯立解方程組、兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、利用導數研究函數的單調性及其極值．