Question

【題目】已知函數，不等式對恒成立．

（1）求函數的極值和函數的圖象在點處的切線方程；

（2）求實數的取值的集合；

（3）設，函數，，其中為自然對數的底數，若關于的不等式至少有一個解，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）極大值為，無極小值； ；（2） ；（3）.

【解析】

（1）對求導，然后利用導數大于零和導數小于零，求得函數的單調區間，由此求得函數的極值.通過求出切點和斜率，利用點斜式求得切線方程.（2）當時不合題意.當時，對兩邊取以為底的對數，轉化為對恒成立.根據（1）中函數的單調性以及極大值，可求得的值.（3）將關于的不等式左邊構造為函數，對分成和兩類，分別利用函數的值域，和函數的導數，求解出的取值范圍.

（1），則時，時，故在遞增，在遞減，故； 又，故函數的圖象在點處的切線方程為：

（2）顯然，不合題意。當時，由得，則有，故依題意知對恒成立.由前面的結論知，當時，取得最大值，故.又可知，當時，取得最大值，故 .故，綜上得 .

（3）設則.當時，，所以不存在 使得成立．故不合題意.當時，.因為， 所以在恒成立，故在單調遞減，，則依題意有.解之得故的取值范圍