Question

【題目】已知函數（，為常數）在內有兩極值點

（1）求實數a的取值范圍；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）函數有兩個極值點，轉化為在內有兩個不相等的實數解，利用函數的單調性和零點存在性定理即可得實數a的取值范圍；

（2）構造新函數，利用單調性即可證明.

（1）由，可得，

記，有題意，知在上存在兩個零點.

∵，

當時，，則在上遞增，至少有一個零點，不合題意；

當時，由，得，

（i）若且，即時，在上遞減，遞增；

則，且，

從而在和上各有一個零點.

所以在上存在兩個零點.

（ii）若，即時，在上遞減，至多一個零點，舍去.

（iii）若且，即時，此時在上有一個零點，而在上沒有零點，舍去.

綜上可得，.

（2）令則

，

，

，

所以，在上遞增，從而，

即，

∴而，且在遞增；

∴，

∴.