Question

【題目】銳角△ABC中，其內角A、B滿足：2cosA=sinB﹣ cosB．
（1）求角C的大小；
（2）D為AB的中點，CD=1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2cosA+ cosB=sinB，可得：cosA= sinB﹣ cosB=cos（ ﹣B），

又∵A，B為銳角，

∴0 ， ＜ ﹣B＜ ，

∴A= ﹣B，A+B= ，可得：C=π﹣ =

（2）解：設∠ACD=α，延長CD到E，使CD=DE，

則AEBC為平行四邊形，

在△ACE中，AC=b，AE=BC=α，CE=2，∠CAE= ，∠AEC= ﹣α，

由正弦定理可得： = = ，

所以，a=4sinα，b=4sin（ ﹣α），

S△ABC= absin∠ABC= sin

=4sinαsin（ ﹣α）=2sinαcosα﹣2 sin2α

=sin2α+ cos2α﹣ =2sin（2α+ ）﹣ ，

當α= 時，△ABC的面積取得最大值，最大值為2﹣ ．

【解析】（1）由已知利用特殊角的三角函數值，兩角差的正弦函數公式可得cosA=cos（ ﹣B），結合A，B為銳角，利用三角形內角和定理可求C的值．（2）設∠ACD=α，延長CD到E，使CD=DE，則AEBC為平行四邊形，在△ACE中，由正弦定理可得a=4sinα，b=4sin（ ﹣α），利用三角形面積公式，三角函數恒等變換的應用化簡可得S△ABC=2sin（2α+ ）﹣ ，利用正弦函數的性質可求△ABC面積的最大值．
【考點精析】本題主要考查了正弦定理的定義的相關知識點，需要掌握正弦定理:才能正確解答此題．