Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面平面，，為的中點.

（1）若，求證：平面；:

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】試題分析：（1）由面面垂直的性質定理可得平面A1ACC1，進而證得BEA1C，又，所以平面；

（2）先證得A1E平面ABC，進而以E點為原點，分別以射線EB，EC，EA1為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，分別求得面和面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值即可.

試題解析：

（Ⅰ）證明：因為BA=BC，E為AC的中點，所以BEAC，

又平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABC=AC，平面ABC，

所以BE平面A1ACC1，

又A1C平面A1ACC1，所以BEA1C，又BC1A1C，BEBC1=B，

所以A1C平面C1EB

（Ⅱ）連接A1E，因為A1A=A1C，又E為AC的中點，

所以A1EAC,

又平面A1ACC1平面ABC，

平面A1ACC1平面ABC=AC，A1E平面A1ACC1，

所以A1E平面ABC，

以E點為原點，分別以射線EB，EC，EA1為

軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系，

設，則，

所以，,，

設平面A1BC1的一個法向量

得 ，取得，

設平面C1EB的一個法向量為,

得 ，取得， ，

故所求的二面角A1—BC1—E的余弦值為