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【題目】(2015·湖北）設函數，的定義域均為，且是奇函數，是偶函數，，其中e為自然對數的底數.
（Ⅰ）求，的解析式，并證明：當時，，；
（Ⅱ）設，，證明：當時，.

【答案】見解答
【解析】 （Ⅰ）由 ， 的奇偶性及，①得：②聯立①②解得
，.證明：當時，，，故 ③
又由基本不等式，有，即 ④
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
⑥
當時，等價于 ⑦ 等價于 ⑧于是設函數 ，由⑤⑥，有 .當時，（1）若，由③④，得，故在上為增函數，從而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上為減函數，從而，即，故⑧成立.綜合⑦⑧，得 .

【考點精析】關于本題考查的函數單調性的性質和正弦函數的奇偶性，需要了解函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集；正弦函數為奇函數才能得出正確答案．

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】(2015·江蘇）某山區外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區的交通現狀，計劃修建一條連接兩條公路的山區邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為了l1, l2 ， 山區邊界曲線為C ， 計劃修建的公路為l ， 如圖所示，M ， N為C的兩個端點，測得點M到l1, l2 的距離分別為5千米和40千米，點N到l1, l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l1, l2所在的直線分別為x ， y軸，建立平面直角坐標系xOy ， 假設曲線C符合函數y=（其中a ， b為常數）模型.

（1）求a ， b的值；
（2）設公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t.
①請寫出公路l長度的函數解析式f(t)，并寫出其定義域；
②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點F為拋物線E:的焦點，點A(2，m)在拋物線E上，且|AF|=3
．
（1）求拋物線E的方程；
（2）已知點G(-1，0) ， 延長AF交拋物線E于點B ， 證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C:,過點D(1，0)且不過點E(2，1)的直線與橢圓C交于A，B兩點，直線AE與直線x=3交于點M。
（1）（I）求橢圓C的離心率；
（2）（II）若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率。
（3）（III）試判斷直線BM與直線DE的位置關系，并說明理由。

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱柱中，側棱底面且點和分別為和的中點
（1）求證：平面
（2）求二面角的正弦值
（3）設為棱上的點，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】

（2015·重慶）如題（21）圖，橢圓的左右焦點分別為且過的直線交橢圓于兩點，

且。


（1）若求橢圓的標準方程。
（2）若，且，試確定橢圓離心率的取值范圍。

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在多面體A1B1D1-DCBA中,四邊形AA1B1B，ADD1A1,ABCD均為正方形，E為B1D1的中點 ，過A1 ， D，E的平面交CD 1于F。

（1）證明：EF∥B1C
（2）求二面角E-A1D-B1的余弦。

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復時間（單位：天）記錄如下：
A組：10，11，12，13，14，15，16
B組：12，13，15，16，17，14，a
假設所有病人的康復時間互相獨立，從A，B兩組隨機各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙．
（Ⅰ）求甲的康復時間不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果人康復時間的方差相等？（結論不要求證明）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，設邊a，b，c所對的角為A，B，C，且A，B，C都不是直角，（bc﹣8）cosA+accosB=a2﹣b2 ． （Ⅰ）若b+c=5，求b，c的值；
（Ⅱ）若 ，求△ABC面積的最大值．

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