Question

【題目】已知點F為橢圓（a＞b＞0）的一個焦點，點A為橢圓的右頂點，點B為橢圓的下頂點，橢圓上任意一點到點F距離的最大值為3，最小值為1.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若M、N在橢圓上但不在坐標軸上，且直線AM∥直線BN，直線AN、BM的斜率分別為k1和k2，求證：k1k2＝e2﹣1（e為橢圓的離心率）.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據橢圓上任意一點到點F距離的最大值為3，最小值為1，則有求解.

（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，），分別設直線AM的方程為y＝k（x﹣2），直線BN的方程為y＝kx，與橢圓方程聯立，用韋達定理求得點M，N的坐標，再利用斜率公式代入k1k2求解.

（1）由題意可知，，解得，

∴b2＝a2﹣c2＝3，

∴橢圓的標準方程為：；

（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，），

設直線AM的斜率為k，則直線BN的斜率也為k，

故直線AM的方程為y＝k（x﹣2），直線BN的方程為y＝kx，

由得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，

∴，∴，，

∴，

由得：，

∴，，

∴，

∴，

，

∴k1k2，

又∵，

∴k1k2＝e2﹣1.