Question

【題目】已知橢圓C：()的左右焦點分別為，點滿足：，且.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點的直線l與C交于，不同的兩點，且，問在x軸上是否存在定點N，使得直線，與y軸圍成的三角形始終為底邊在y軸上的等腰三角形.若存在，求定點N的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，定點為：.

【解析】

（1）根據橢圓的定義，結合代入法、三角形的面積公式進行求解即可；

（2）設出直線l的方程與橢圓方程聯立，根據等腰三角形的性質，結合一元二次方程根與系數關系、根的判別式、斜率公式進行求解即可.

（1）因為，所以點P在橢圓C上，

將代入，得①，

設橢圓C焦距為，則，所以，從而②，

由①②解得，，

所以橢圓C的方程為；

（2）顯然直線l的斜率存在且不為0，設直線l：，

聯立消去y整理得.

由，得，

則，，

假設存在點，因為直線，與y軸圍成的三角形始終為底邊在y軸上的等腰三角形，所以.

設，則

，

即，所以，

化簡得：，

解得.

故在x軸上存在定點，使得直線，與y軸圍成的三角形始終在底邊為y軸上的等腰三角形.