Question

【題目】如圖，已知橢圓的離心率，長軸長為4.

（1）求橢圓的方程；

（2）設動直線與橢圓有且只有一個公共點，過右焦點作直線與直線交與點，且.求證：點在定直線上，并求出定直線方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，.

【解析】

試題分析：（1）根據條件直接求出的值即可；（2）聯立直線方程和橢圓方程，消去得到，由判別式等于整理得到，代入求得的坐標，然后寫出直線方程為，聯立方程組，求得，即說明點在定直線上．

試題解析：（1）由橢圓的離心率，長軸長為4可知，

所以，∴橢圓的方程為．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）由，得方程（*）．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

由直線與橢圓相切，得，且整理得；

，將代入（*）式，得，

即，解得，∴，．．．．．．．．．．．．．8分

又，①當即，∴②，

②當時，∴，則，．．．．．．．．．．．9分

∴直線方程為，

聯立方程組，得，

∴點在定直線上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分