Question

【題目】已知函數 ．
（1）a的值為多少時，f（x）是偶函數？
（2）若對任意x∈[0，+∞），都有f（x）＞0，求實數a的取值范圍．
（3）若f（x）在區間[0，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 = ，

要使f（x）是偶函數，則f（﹣x）=f（x）

即2﹣x+2+a2x=2x+2+a2﹣x，解得a=1

（2）解：因為f（x）＞0，所以4x+2x+1+a＞0，

即（2x+1）2+a﹣1＞0

所以a＞1﹣（2x+1）2，

因為x≥0，所以2x≥1，所以（2x+1）2≥4，所以1﹣（2x+1）2≤﹣3，

所以a＞﹣3

（3）解：任取0≤x1＜x2，則f（x1）＜f（x2）

即 ，

即 ，

因為0≤x1＜x2，所以 ﹣a＞0，

即a＜ ，

因為 ＞1，

所以a≤1

【解析】（1）利用偶函數的定義進行求值．（2）求函數的最小值即可．（3）利用函數單調性的定義進行求值判斷．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數單調性的判斷方法(單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)，還要掌握函數的奇偶性(偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱)的相關知識才是答題的關鍵．