Question

【題目】已知函數，，設.

（Ⅰ）若在處取得極值，且，求函數的單調區間；

（Ⅱ）若時函數有兩個不同的零點、.

①求的取值范圍；②求證：.

Answer 1

【答案】（1）在區間（0,1）上單調增；在區間（1,+）上單調減.（2）①（，0）②詳見解析

【解析】

試題（1）先確定參數：由可得a=b-3. 由函數極值定義知所以a=" -2,b=1" .再根據導函數求單調區間（2）①當時，，原題轉化為函數與直線有兩個交點，先研究函數圖像，再確定b的取值范圍是（，0）.

②，由題意得,所以，因此須證，構造函數，即可證明

試題解析：（1）因為，所以,

由可得a=b-3.

又因為在處取得極值，

所以，

所以a=" -2,b=1" .

所以，其定義域為（0，+）

令得，

當（0,1）時，，當（1,+），

所以函數h（x）在區間（0,1）上單調增；在區間（1,+）上單調減.

（2）當時，，其定義域為（0，+）.

①由得，記，則,

所以在單調減，在單調增，

所以當時取得最小值.

又，所以時，而時,

所以b的取值范圍是（，0）.

②由題意得,

所以,

所以，不妨設x1<x2,

要證, 只需要證.

即證，設,

則,

所以,

所以函數在（1，+）上單調增，而，

所以即,

所以.