Question

【題目】已知函數f（x）=cos2x+2sin2x+2sinx．
（Ⅰ）將函數f（2x）的圖象向右平移 個單位得到函數g（x）的圖象，若x∈[ ， ]，求函數g（x）的值域；
（Ⅱ）已知a，b，c分別為△ABC中角A，B，C的對邊，且滿足f（A）= +1，A∈（0， ），a=2 ，b=2，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為f（x）=cos2x+2sin2x+2sinx=cosx2﹣sinx2+2sin2x+2sinx=cosx2+sinx2+2sinx=1+2sinx，
即f（2x）=1+2sin2x，
∵函數f（2x）的圖象向右平移 個單位得到函數g（x）的圖象，
∴ ，∵ ，∴2x﹣ ∈[﹣ ， ]， ，∴g（x）∈[0，3]，
所以函數g（x）的值域為[0，3]．
（Ⅱ）解：∵ ，∴ ；因為 ，∴ ．
又 ， ，b=2，∴c=4．
所以，△ABC面積
【解析】（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數f（x）的解析式，再利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，求得g（x）的解析式，利用正弦函數的定義域和值域，求得數g（x）的值域．（Ⅱ）先求得cosA的值，利用余弦定理求得c的值，可得△ABC的面積．
【考點精析】利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換和余弦定理的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象；余弦定理:;;．