Question

（本小題滿分13分）
專家通過研究學生的學習行為，發現學生的注意力隨著老師講課時間的變化而變化，講課開始時，學生的興趣激增，中間有一段時間，學生的興趣保持較理想的狀態，隨后學生的注意力開始分散，設表示學生注意力隨時間(分鐘)的變化規律(越大，表明學生注意力越大)，經過試驗分析得知：
（Ⅰ）講課開始后多少分鐘，學生的注意力最集中？能堅持多少分鐘？
（Ⅱ）講課開始后5分鐘時與講課開始后25分鐘時比較，何時學生的注意力更集中？
（Ⅲ）一道數學難題，需要講解24分鐘，并且要求學生的注意力至少達到180，那么經過適當安排，老師能否在學生達到所需的狀態下講完這道題目？

Answer 1

(1) 堅持10分鐘(2) 學生的注意力比講課開始后5分鐘時更集中(3) 經過適當安排,老師能在學生達到所需的狀態下講完這道題目

試題分析：解：（Ⅰ）當時, 是增函數,
且
當時, 是減函數，且
所以講課開始10分鐘，學生的注意力最集中，能堅持10分鐘.      ………………………5分
（Ⅱ）,,所以講課開始后25分鐘時,學生的注意力比講課開始后5分鐘時更集中.                                          ……………8分
（Ⅲ） 當時,令 得.
當時令
,得
所以學生的注意力在180以上,所持續的時間
所以經過適當安排,老師能在學生達到所需的狀態下講完這道題目.      …………………13分
點評：構造二次函數模型，函數解析式求解是關鍵，解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．