Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ ，x∈[0，1]．
（1）用分析法證明：f（x）≥1﹣x+x2；
（2）證明：f（x）≤ ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：（1）由x∈[0，1]，

則x+1∈[1，2]，

要證f（x）≥1﹣x+x2，

只需證x3（x+1）+1≥（x+1）（1﹣x+x2），

只需證x4+x3+1≥x3+1，

只需證x4≥0，顯然成立，

∴f（x）≥1﹣x+x2

（2）解：≤x≤1，∴x3≤x，

∴f（x）≤x+ ，

設g（x）=x+ ，x∈[0，1]，

∴g′（x）=1﹣ = ≥0，

∴g（x）在[0，1]上單調遞增，

∴f（x）≤g（1）=

【解析】（1）利用分析法證明即可，（2）先放縮得到f（x）≤x+ ，再構造函數g（x）=x+ ，x∈[0，1]，利用函數的單調性和最值得關系即可證明．