Question

【題目】已知函數f (x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g (x)＝x2＋ex－xex.

（1）當x∈[1，e] 時，求f (x)的最小值；

（2）當a＜1時，若存在x1∈[e，e2]，使得對任意的x2∈[－2，0]，f (x1)＜g (x2)恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）求出f（x）的定義域，求導數f′（x），得其極值點，按照極值點a在[1，e2]的左側、內部、右側三種情況進行討論，可得其最小值；

（2）存在x1∈[e，e2]，使得對任意的x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，即 f（x）min＜g（x）min，由（1）知f（x）在[e，e2]上遞增，可得f（x）min，利用導數可判斷g（x）在[﹣2，0]上的單調性，可得g（x）min，由 f（x）min＜g（x）min，可求得a的范圍；

（1）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）（a∈R），

當a≤1時，x∈[1，e2]，f′（x）≥0，f（x）為增函數，

所以f（x）min＝f（1）＝1﹣a；

當1＜a＜e2時，x∈[1，a]，f′（x）≤0，f（x）為減函數，x∈[a，e2]，f′（x）≥0，f（x）為增函數，

所以f（x）min＝f（a）＝a﹣（a+1）lna﹣1；

當a≥e2時，x∈[1，e2]，f′（x）≤0，f（x）為減函數，

所以f（x）min＝f（e2）＝e2﹣2（a+1）；

綜上，當a≤1時，f（x）min＝1﹣a；

當1＜a＜e2時，f（x）min＝a﹣（a+1）lna﹣1；

當a≥e2時，f（x）min＝e2﹣2（a+1）；

（2）存在x1∈[e，e2]，使得對任意的x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，即 f（x）min＜g（x）min，

當a＜1時，由（1）可知，x∈[e，e2]，f（x）為增函數，

∴f（x1）min＝f（e）＝e﹣（a+1）

g′（x）＝x+ex﹣xex﹣ex＝x（1﹣ex），

當x∈[﹣2，0]時g′（x）≤0，g（x）為減函數，g（x）min＝g（0）＝1，

∴e﹣（a+1）1，a，

∴a∈（，1）．