Question

設{a_n}是正數數列，其前n項和S_n滿足S_n=

1

4

（a_n-1）（a_n+3）．
（1）求a₁的值；
（3）求數列{a_n}的通項公式；
（5）對于數列{b_n}，T_n為數列{b_n}的前n項和，令b_n=

1

sn

，試求T_n的表達式．

Answer 1

分析：（1）把n=1代入遞推公式sn=

1

4

(an-1)（a_n+3）可求a₁的值
（2）由Sn=

1

4

(an+1)(an+3)，可得Sn-1=

1

4

(an-1-1)(an-1+3)(n≥2)
兩式相減結合a_n＞0的條件整理可得a_n-a_n-1=2，從而利用等差數列的通項公式求出a_n
（3）由（2）中求出S_n，代入求b_n=

1

n(n+2)

，利用裂項求和求出T_n

解答：解：（1）由a₁=S₁=

1

4

(a1-1)(a1+3)，及a_n＞0，得a₁=3

（2）由Sn=

1

4

(an-1)(an+3)
得Sn-1=

1

4

(an-1-1)(an-1+3)．∴當n≥2時，
an=

1

4

(

a

2 n

-

a

2 n-1

)+2(an-an-1)
∴2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=2，
∴由（1）知，{a_n}是以3為首項，2為公差的等差數列，∴a_n=2n+1．

（3）由（2）知S_n=n（n+2）∴bn=

1

Sn

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

++

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

[

3

2

-

2n+3

(n+1)(n+2)

]
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

點評：本題主要考查由和s_n求a_n，運用公式an=

S1 n=1 Sn-Sn-1 n≥2

可轉化得數列項之間的遞推關系；在數列的求和方法中裂項求和一直是考查的熱點和重點之一，在運用裂項時，兩項相錯k時，裂項后乘

1

k

．