Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，雙曲線的漸近線與拋物線 交于點O，A，B，且的垂心為的焦點，則的離心率為______；如果與在第一象限內有且只有一個公共點，且，那么的方程為____________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由雙曲線的漸近線與拋物線聯立，求得或，取，設垂心，得到，再根據垂心的性質，求得，利用離心率的定義，可求得雙曲線的離心率，再由雙曲線與拋物線的聯立方程組，利用，求得，即可得到拋物線的方程．

由題意，雙曲線的漸近線為，

與拋物線聯立，可得或，

取，設垂心，則，

因為的垂心為的焦點，所以，整理得，

即，即，所以，

又由，則，所以曲線，

與拋物線聯立方程組，可得，即，

因為曲線與在第一象限內有且只有一個公共點，

所以，解得，所以．

故答案為：，．