Question

已知函數.
（Ⅰ）求的單調區間和極值；
（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求的范圍.

Answer 1

（Ⅰ）函數的單調遞減區間，遞增區間，極小值為，無極大值；（Ⅱ）的范圍是．

解析試題分析：（Ⅰ）求的單調區間和極值，研究單調性和極值問題，往往與導數有關，特別是極值，只能利用導數求得，故先對求導，得，令，解得，從而得遞增區間，同樣方法可得遞減區間為，進而得極值；（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求的范圍，屬于恒成立問題，解這一類題，常常采用含有參數的放到不等式的一邊，不含參數（即含）的放到不等式的另一邊，轉化為函數的最值問題，故原不等式可化為，只需求出在上的最大值即可，因含有，可通過求導來求，令可得，，得，故最大，最大值為，從而得的范圍．
試題解析：（Ⅰ）函數的單調遞減區間，遞增區間.極小值為，無極大值；
（Ⅱ）原不等式可化為：，令可得，令，可得在上恒小于等于零，所以函數g(x)= 在（0，1）上遞增，在（1，+）遞減，所以函數g(x)在上有最大值g(1)=2-e，所求的范圍是
考點：函數與導數，函數極值，單調區間，導數與不等式．