Question

【題目】已知直線經過拋物線的焦點且與此拋物線交于，兩點，，直線與拋物線交于，兩點，且，兩點在軸的兩側.

（1）證明：為定值；

（2）求直線的斜率的取值范圍；

（3）若（為坐標原點），求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】分析：（1）可設l的方程為y=k（x﹣1），k≠0，聯立，可得ky2﹣4y﹣4k=0，根據韋達定理即可證明，

（2）根據韋達定理和拋物線的性質可得k2＞1，再聯立，得x2﹣kx+k﹣4=0，根據M，N兩點在y軸的兩側，可得△=k2﹣4（k﹣4）＞0，即k＜4，即可求出k的范圍，

（3）設，，則，，利用根與系數關系表示，即可得到直線的方程.

詳解：（1）證明：由題意可得，直線的斜率存在，故可設的方程為，

聯立，得，則為定值.

（2）解：由（1）知，， ，

則 ，即.

聯立，得，

∵，兩點在軸的兩側，∴ ，且，∴.

由及可得或，

故直線的斜率的取值范圍為.

（3）解：設，，則，，

∴

，

解得或，又，∴，

故直線的方程為.