Question

【題目】設，向量，，且.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過點作直線交曲線于，兩點（在，之間）.設，直線的傾斜角，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設，，點，由題意結合平面向量線性運算的坐標表示可得，再結合橢圓定義即可得解；

（2）當斜率不存在時，易得；當斜率存在時，設，聯立方程組結合韋達定理可得，，再結合即可得，求得的取值范圍后即可得解.

（1）設，，點，則，

則，，

所以，

所以點的軌跡是以、為焦點，長軸的橢圓，

所以該橢圓短半軸，

所以點的軌跡的方程為；

（2）當斜率不存在時，，易得，，

此時，，；

當斜率存在時，設，由可得，

代入，可得，，

設，橫坐標分別為，，則，，

又，所以，

所以，，

所以，

化簡得，

所以，解得或，

又在，之間，所以；

綜上，實數的取值范圍為.