Question

（09年豐臺區期末理）（13分）

       已知函數f ( x ) = 3^x , f ( a + 2 ) = 18 , g ( x ) =? 3^ax 4^x的義域為[0，1]。

       （Ⅰ）求a的值；

    （Ⅱ）若函數g ( x )在區間[0，1]上是單調遞減函數，求實數的取值范圍。

Answer 1

解析：解法一：（Ⅰ）由已知得 3^a+2 = 183^a = 2a = log₃2 …………… 3分

              （Ⅱ）此時    g ( x ) =? 2^x 4^x              ……………………………… 6分

              設0x₁＜x₂1，因為g ( x )在區間[0，1]上是單調減函數

              所以       g ( x₁ ) = g ( x₂ ) =0成立 … 10分

              即    +恒成立           由于+＞2⁰ + 2⁰ = 2

              所以       實數的取值范圍是2  ……………………………… 13分

       解法二：（Ⅰ）由已知得     3^a+2 = 183^a = 2a = log₃2 …………… 3分

              （Ⅱ）此時    g ( x ) =? 2^x 4^x              ……………………………… 6分

              因為g ( x )在區間[0，1]上是單調減函數

              所以有    g ( x )′=ln2 ? 2^x ln 4 ? 4^x = ln 2[2 ? (2^x)² + ? 2^x ] 0成立…10分

              設2^x = u∈[ 1 , 2 ]              ## 式成立等價于  2u² +u0 恒成立。

              因為u∈[ 1 , 2 ]    只須       2u 恒成立，………………………… 13分

              所以實數的取值范圍是2