Question

【題目】已知橢圓的離心率，過點的直線與原點的距離為.

（1）求橢圓方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點，試求面積的范圍.

Answer 1

【答案】(1)（2）

【解析】

（1） 根據題意，求出直線的方程，再根據點到直線的距離公式，列出的等式關系，再結合離心率以及聯立方程求解，即可求出橢圓方程.

（2） 設出的坐標，將直線與橢圓方程聯立，得到聯立方程，根據求出的范圍，再利用弦長公式表達出作為三角形的底，再求出原點到直線的距離作為三角形的高，從而表達出三角形的面積關于的函數，結合的范圍即可求出面積的范圍.

（1）由題意可知，直線AB的方程為，即，

∵過點的直線與原點的距離為.

∴，

∴由，解得，

∴橢圓方程為：；

（2）設點，

聯立方程，消去得：，

，解得

，，

，

又∵原點到直線的距離，

∵，∴，

∴S△OPQ，

∴，

∴面積的范圍為.