Question

【題目】如圖，有一塊矩形空地，要在這塊空地上辟一個內接四邊形為綠地，使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，設AE=x，綠地面積為y．

（1）寫出y關于x的函數關系式，并指出這個函數的定義域．
（2）當AE為何值時，綠地面積最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：S△AEH=S△CFG= x2，\

S△BEF=S△DGH= （a﹣x）（2﹣x）．\

∴y=SABCD﹣2S△AEH﹣2S△BEF=2a﹣x2﹣（a﹣x）（2﹣x）=﹣2x2+（a+2）x．\

由 ，得0＜x≤2\

∴y=﹣2x2+（a+2）x，0＜x≤2

（2）解：當 ，即a＜6時，則x= 時，y取最大值 ．\

當 ≥2，即a≥6時，y=﹣2x2+（a+2）x，在（0，2]上是增函數，

則x=2時，y取最大值2a﹣4\

綜上所述：當a＜6時，AE= 時，綠地面積取最大值 ；

當a≥6時，AE=2時，綠地面積取最大值2a﹣4

【解析】（1）先求得四邊形ABCD，△AHE的面積，再分割法求得四邊形EFGH的面積，即建立y關于x的函數關系式；（2）由（1）知y是關于x的二次函數，用二次函數求最值的方法求解．