Question

【題目】已知橢圓中心在原點，焦點在坐標軸上，直線與橢圓在第一象限內的交點是，點在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點，橢圓的另一個焦點是，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線過點，且與橢圓交于，兩點，求的面積的最大值及此時內切圓半徑.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積最大值為3，內切圓半徑.

【解析】

(1)由已知可得,根據可得,將代入橢圓可得,從而可得,可得橢圓方程;

(2)根據可得,換元可得,根據單調性可求得面積的最大值為3,根據（為三角形內切圓半徑）,可求得三角形內切圓半徑.

（1）設橢圓方程為，.點在直線上，且點在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點，則點.

∵.即,∴,所以,

又，

解得,

∴橢圓方程為.

（2）由（1）知，

設直線方程為，，，則

，消去得，

∴.

∴

,

令，則，∴.

令，，

當時，，在上單調遞增，

∴，當時取等號，

即當時，的面積最大值為3.

過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為.

又（為三角形內切圓半徑），

∴當的面積最大時,，得內切圓半徑.