Question

【題目】已知圓C經過點，，且圓心在直線上

（1）求圓C的方程.

（2）過點的直線與圓C交于A，B兩點，問：在直線上是否存在定點N，使得（，分別為直線AN，BN的斜率）恒成立？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點，使得恒成立

【解析】

（1）的垂直平分線與直線的交點就是圓心，求出圓心即可得到半徑，圓的方程得解；

（2）設直線AB的方程為，聯立直線與圓的方程，消去y整理得，根據建立等式，結合韋達定理求出定點，檢驗直線斜率為0和斜率不存在的情況.

（1）由題可知線段EF的中點為，EF的垂直平分線的斜率為5，

的垂直平分線的方程為.

EF的垂直平分線與直線l的交點即為圓心C，

由，解得，即.

又，

圓C的方程為.

（2）當直線AB的斜率存在且不為0時，設直線AB的斜率為k，則過點的直線AB的方程為，由，消去y整理得.

設，，

，.（*）

設，則，.

，

，，

即，

將（*）式代入得，

解得故點N的坐標為.

當直線AB的斜率為0時，顯然點可使成立.

當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為，，，顯然點N可使成立.

在直線上存在定點使得恒成立.