Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F為PC的中點，AF⊥PB．

（1）求PA的長；

（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）2（2）

【解析】（1）如圖，連接BD交AC于點O

∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD

以O為坐標原點，OB、OC所在直線分別為x軸、y軸，

建立空間直角坐標系O﹣xyz，

則OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．

又∵OD=CDsin=，

∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）

由于PA⊥底面ABCD，可設P（0，﹣3，z）

∵F為PC邊的中點，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），

∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，

∴=6﹣=0，解之得z=2（舍負）

因此，=（0，0，﹣2），可得PA的長為2；

（2）由（1）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），

設平面FAD的法向量為=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量為=（x2，y2，z2），

∵=0且=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），

同理，由=0且=0，解出=（3，﹣，2），

∴向量、的夾角余弦值為cos＜，＞===

因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=