Question

【題目】已知為實常數，函數.

（1）若在是減函數，求實數的取值范圍；

（2）當時函數有兩個不同的零點，求證：且.（注：為自然對數的底數）；

（3）證明

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】分析：(1) 因，則，又在是減函數所以在時恒成立，則實數的取值范圍為 ；(2)先證明下當時，，由（1）知，則在內單調遞增，在內單調遞減，由，得.所以，；（3）由（1）知當時， ，當時，有，即，累加可得結果.

詳解：（1）因，則，又在是減函數所以在時恒成立，則實數的取值范圍為

（2）因當時函數有兩個不同的零點，則有，

則有.設 . .

當 時， ；當 時， ；

所以在 上是增函數，在 上是減函數. 最大值為 .

由于 ，且 ，所以 ，又，所以.

下面證明：當時， .設 ，

則 .在 上是增函數，

所以當時， .即當時，..

由得 .所以.

所以 ，即，，.

又 ，所以，.

所以 .而，則有.

由（1）知，則在內單調遞增，在內單調遞減，

由，得.所以， .

（3）由（1）知當時，在上是減函數，且

所以當時恒有，即

當時，有，即，

累加得：（）